В математике sup – это сокращение от супремум, что означает точную верхнюю грань множества. Доказательство неравенства sup x y supx supy – это доказательство того, что верхняя грань двух чисел превышает верхние грани каждого из этих чисел в отдельности.
Пусть x и y – два числа. Мы должны доказать, что sup x y supx supy. Для начала, давайте определим, что такое верхняя грань. Верхняя грань множества – это наибольший элемент или число, которому принадлежат и все остальные элементы этого множества.
Предположим, что sup x y supx supy это не верно. Это означает, что существует число M такое, что M меньше x, M меньше y и M больше всех других чисел множества, к которому принадлежат x и y. Но поскольку существует число, которое меньше x и y, оно должно быть меньше верхней грани множества, содержащего x и y, что противоречит исходному предположению.
Теория неравенства $\sup(x,y)$
Пусть $x$ и $y$ — два произвольных числа. Тогда $\sup(x,y)$ — наименьшее число, которое больше или равно обоим числам $x$ и $y$.
Доказательство неравенства $\sup(x,y)$ основано на определении «верхней границы». В случае, когда $x \leq y$, верхняя граница равна числу $y$. Таким образом, $\sup(x,y) = y$.
В случае, когда $y < x$, верхняя граница равна числу $x$. Значит, $\sup(x,y) = x$.
Таким образом, можно сформулировать общее правило: $\sup(x,y) = \max(x,y)$, где $\max(x,y)$ — максимальное из двух чисел.
Геометрический подход к доказательству
Доказательство неравенства sup x y supx supy можно рассмотреть с геометрической точки зрения. Давайте представим, что у нас есть две функции f(x) и g(x), и мы хотим найти их точки супремума.
Построим на плоскости графики этих функций и обозначим точки супремума как (x*, y*) и (supx, supy) соответственно. Заметим, что супремум функции f(x) будет самой верхней точкой на ее графике, а супремум функции g(x) — самой верхней точкой на ее графике.
Теперь допустим, что (x*, y*) является точкой супремума неравенства sup x y supx supy. Это значит, что для любой точки (x, y), лежащей на графике функции f(x), верно неравенство y ≤ y*. Аналогично, для любой точки (x, y), лежащей на графике функции g(x), верно неравенство x ≤ x*.
Теперь рассмотрим точку (supx, supy). Заметим, что эта точка также лежит на графике функции f(x) и по условию задачи, точка (x*, y*) должна быть выше всех точек на графике f(x), поэтому верно неравенство supy ≤ y*.
Аналогично, точка (supx, supy) также лежит на графике функции g(x) и по условию задачи, точка (x*, y*) должна быть левее всех точек на графике g(x), поэтому верно неравенство supx ≤ x*.
Итак, получаем следующие неравенства:
| y* ≤ supy |
| x* ≤ supx |
Это означает, что точка (x*, y*) должна лежать выше или на одной высоте с точкой (supx, supy) и левее или на одной горизонтальной прямой с точкой (supx, supy). Объединяя эти два неравенства, получаем неравенство:
x* ≤ supx и y* ≤ supy
Из этих неравенств следует, что точка (x*, y*) является точкой супремума неравенства sup x y supx supy, что и требовалось доказать.